Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-（2sinα）x-8sin²α（α∈R），則
下列四個(gè)結(jié)論：
①y=f（x）的最小值為-9．
②對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
③不等式f（x）＜0的解集是（-2sinα，4sinα）．
④設(shè)[m]表示不超過實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，如[2.1]=2，[-2.1]=-3，[0]=0，記{m}=m-[m]．則當(dāng)2kπ＜α＜2kπ+π且α≠2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，f（[sinα]）≥f（{sinα}），當(dāng)2kπ+π≤α≤2kπ+2π或α=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈z）時(shí)，f（[sinα]）＜f（{sinα}）．其中正確的是①②．

Answer 1

分析 由題意，①將函數(shù)化簡，求出其最小值；
②即函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為凹函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，確定其凹凸性；
③將不等式因式分解，討論根的大小，確定解集；
④根據(jù)已知條件，求出因變量的值，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大�。�

解答 解：由題意，因?yàn)棰賔（x）=（x-sinα）²-9sin²α≥-9，所以①正確；
②對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$即函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為凹函數(shù)，
由①可知f（x）是以x=sinα為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線，所以是凹函數(shù)，
所以②正確；
③f（x）＜0即x²-（2sinα）x-8sin²α＜0，
所以（x-4sinα）（x+2sinα）＜0，
所以當(dāng)sinα＞0時(shí)，解集為（-2sinα，4sinα），
當(dāng)sinα＜0時(shí)，解集為（4sinα，-2sinα），
所以③錯(cuò)；
④當(dāng)2kπ＜α＜2kπ+π且α≠2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，0＜sinα＜1，所以[sinα]=0，
所以{sinα}=sinα-[sinα]=sinα，
所以f（[sinα]）=f（0），f（{sinα}）=f（sinα），
又因?yàn)閒（x）的對(duì)稱軸為x=sinα且開口向上，所以f（0）＞f（sinα），所以f（[sinα]）＞f（{sinα}），
所以④錯(cuò)．
故答案為①②．

點(diǎn)評(píng) 本題①主要利用二次函數(shù)性質(zhì)以及三角函數(shù)值域，屬于常見提醒；②中難點(diǎn)在于理解函數(shù)凹凸性的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，也是解題關(guān)鍵；③中易錯(cuò)點(diǎn)是sinα的取值范圍是[-1，1]，需要討論其正負(fù)性，解集會(huì)不同；④給出了新的概念，對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)要求較高，以函數(shù)單調(diào)性比較大小為知識(shí)框架，需要學(xué)生靈活掌握高斯函數(shù)性質(zhì)及三角函數(shù)值域問題，綜合性較強(qiáng)．