Question

6．函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（l，f（1））處的切線與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為Sn，則S₂₀₁₅=（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{2013}{2014}$
• C． $\frac{2014}{2015}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由f′（1）與直線斜率相等可得f（x）的解析式，從而可得數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的通項(xiàng)公式，計(jì)算可得答案．

解答 解：f′（x）=2x+b，
由直線3x-y+2=0可知其斜率為3，
根據(jù)題意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x²+x，
從而數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的通項(xiàng)為$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以S₂₀₁₅=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．