Question

18．已知正數(shù)x，y，z滿足x+2y+3z=1，求$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$的最小值．

Answer 1

分析 $\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（x+2y+3z）=1+4+9+$\frac{2y}{x}$+$\frac{3z}{x}$+$\frac{2x}{y}$+$\frac{6z}{y}$+$\frac{3x}{z}$+$\frac{6y}{z}$，運(yùn)用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（x+2y+3z）=1+4+9+$\frac{2y}{x}$+$\frac{3z}{x}$+$\frac{2x}{y}$+$\frac{6z}{y}$+$\frac{3x}{z}$+$\frac{6y}{z}$
≥14+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{y}}$+2$\sqrt{\frac{3z}{x}•\frac{3x}{z}}$+2$\sqrt{\frac{6z}{y}•\frac{6y}{z}}$=36，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=$\frac{1}{6}$時(shí)等號(hào)成立）
所以$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$的最小值為36．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式及應(yīng)用，考查基本的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題．