Question

10．已知函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x在x=1處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求證：對任意x₁、x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意得f′（1）=0，可得a值，代入檢驗(yàn)即可；
（2）對任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e，等價于|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）≤e．問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最大值、最小值問題，用導(dǎo)數(shù)易求．

解答 解：（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f′（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
驗(yàn)證知，當(dāng)a=1時，在x=1處函數(shù)f（x）=（x-2）e^x取得極小值，所以a=1；
（2）由（1）知f（x）=（x-2）e^x，
f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f′（x）=0得x=1，
因?yàn)閒（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以對任意x₁，x₂∈[0，2]，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，關(guān)于恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．