Question

8．在直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
現(xiàn)有以下命題：
①若A，B是x軸上兩點(diǎn)，則d（A，B）=|x₁-x₂|；
②已知點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（cos²θ，sin²θ），則d（A，B）為定值；
③已知點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)B在圓x²+y²=1上，則d（A，B）的取值范圍是（3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$）；
④若|AB|表示A，B兩點(diǎn)間的距離，那么|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（A，B）．
其中真命題的是①②④（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)距離公式判斷①④，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷②③．

解答 解：①當(dāng)A，B是x軸上兩點(diǎn)時，y₁=y₂=0，d（A，B）=|x₁-x₂|顯然成立，∴①對；
②由x∈[0，1]得，d（A，B）=|1-cos²θ|+|2-sin²θ|=1-cos²θ+2-sin²θ=2為定值，∴②對；
③由條件得$d（A，B）=|{2-cosθ}|+|{1-sinθ}|=3-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴$d（A，B）∈[{3-\sqrt{2}，3+\sqrt{2}}]$，∴③不對；
④由條件知${|{AB}|^2}=（{x_1}-{x_2}{）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}≥\frac{1}{2}{（|{{x_1}-{x_2}}|+|{{y_1}-{y_2}}|）^2}$，
∴$|{AB}|=≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（|{{x_1}-{x_2}}|+|{{y_1}-{y_2}}|）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}d（A，B）$，∴④對；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)問題，是一道中檔題．