Question

13．函數(shù)f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x）（a＞0且a≠1），則F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性是偶函數(shù)，奇函數(shù)．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的解析式和定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），
∴F（x）=f（x）+g（x）=log_a（2+x）+log_a（2-x），
G（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
由$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{x＜2}\end{array}\right.$，即-2＜x＜2，即兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，2），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則F（-x）=log_a（2-x）+log_a（2+x）=F（x），則F（x）是偶函數(shù)，
G（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-G（x），
則G（x）是奇函數(shù)，
故答案為：偶函數(shù)，奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．注意要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．