Question

9．己知a＞0，b＞0且a+b=1，則（$\frac{1}{{a}^{2}}$-1）（$\frac{1}{^{2}}$-1）的最小值為9．$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$的最小值為2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用基本不等式得$\frac{1}{ab}$≥4，化簡(jiǎn)不等式（$\frac{1}{{a}^{2}}$-1）（$\frac{1}{^{2}}$-1）=$\frac{2}{ab}$+1，由此能求出（$\frac{1}{{a}^{2}}$-1）（$\frac{1}{^{2}}$-1）的最小值為9；由b=1-a，得$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$=$\frac{1+a}{a（1-a）}-1$，設(shè)f（x）=$\frac{1+x}{x（1-x）}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$的最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0且a+b=1，
∴根據(jù)基本不等式a+b=1≥2$\sqrt{ab}$，得ab≤$\frac{1}{4}$，
即$\frac{1}{ab}$≥4，
化簡(jiǎn)不等式：
（$\frac{1}{{a}^{2}}$-1）（$\frac{1}{^{2}}$-1）
=$\frac{1}{{a}^{2}^{2}}$-（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$）+1
=$\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}^{2}}$+1
=$\frac{2}{ab}$+1≥9
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$-1）（$\frac{1}{^{2}}$-1）的最小值為9．
∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴b=1-a，
∴$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+1}{a（1-a）}$=$\frac{{a}^{2}-1}{a（1-a）}+\frac{2}{a（1-a）}$=-$\frac{1}{a}-1+\frac{2}{a（1-a）}$=$\frac{1+a}{a（1-a）}-1$，
設(shè)f（x）=$\frac{1+x}{x（1-x）}$，則f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}（1-x）^{2}}$，
當(dāng)f（x）最小時(shí)，f′（x）=0，
由f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}（1-x）^{2}}$=0，得x=$±\sqrt{2}-1$，
∴當(dāng)x=$\sqrt{2}-1$時(shí)，f（x）取最小值，
∴a=$\sqrt{2}-1$時(shí)，f（a）-1即$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$取最小值為2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：9，2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意基本不等式和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．