已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過D(2,0),E(1,
3
2
)兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為k且不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M、N,若直線OM、ON的斜率分別為k1,k2,且滿足k2=k1•k2,求△OMN面積的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(I)由橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過D(2,0),E(1,
3
2
)兩點,可得a=2,
1
a2
+
3
4b2
=1,解得即可;
(II)設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).與橢圓方程聯(lián)立,化為(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,△>0,化為1+4k2>m2.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,根據(jù)k2=k1•k2,可得k2=
y1
x1
y2
x2
,化為km(x1+x2)+m2=0,4k2=1,代入△>0可得0<m2<2.設(shè)原點到直線l的距離為d=
|m|
1+k2
=
2|m|
5
.|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5(2-m2)
,可得S△OMN=
1
2
|MN|•d
=
m2(2-m2)
,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答: 解:(I)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過D(2,0),E(1,
3
2
)兩點,
∴a=2,
1
a2
+
3
4b2
=1,解得a=2,b2=1.
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(II)設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立
y=kx+m
x2+4y2=4
,化為(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
△=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)>0,化為1+4k2>m2
∴x1+x2=
-8km
1+4k2
x1x2=
4m2-4
1+4k2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
∵k2=k1•k2
k2=
y1
x1
y2
x2
,
∴k2x1x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,化為km(x1+x2)+m2=0,
-8k2m2
1+4k2
+m2=0,m≠0,
∴4k2=1,解得k=±
1
2
.由△>0,可得0<m2<2.
設(shè)原點到直線l的距離為d=
|m|
1+k2
=
2|m|
5

|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5
4
(8-4m2)
=
5(2-m2)
,
∴S△OMN=
1
2
|MN|•d
=
m2(2-m2)
(
m2+2-m2
2
)2
=1.當m2=1時取等號.
∴△OMN面積的取值范圍是(0,1].
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△>0及其根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式,考查了分析問題與解決問題的能力,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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-x2-4x+5
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A、16π
B、16
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16
3
D、
16π
3

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若C
 
3
n
=C
 
7
n
,(n∈N*),則C
 
2
n
=
 

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對于平面向量
a
=(x1,y1),
b
=(x2,y2),若記<
a
,
b
>為它們的夾角,則cos<
a
b
>=
x1x2+y1y2
x12+y12
x22+y22
,把此結(jié)論類比到空間,對于空間向量
a
=(x1,y1,z1),
b
=(x2,y2,z2),若記<
a
,
b
>為它們的夾角,則cos<
a
,
b
>=
 

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若數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1,則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于( 。
A、2n+1-n-2
B、2n+1-n
C、2n-1-n+2
D、2n+1+n-2

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如圖,網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,粗線是一個棱錐的三視圖,則此棱錐的表面積為( 。
A、6+4
2
+2
3
B、8+4
2
C、6+6
2
D、6+2
2
+4
3

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