Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過D（2，0），E（1，

3

2

）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為k且不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M、N，若直線OM、ON的斜率分別為k₁，k₂，且滿足k²=k₁•k₂，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過D（2，0），E（1，

3

2

）兩點，可得a=2，

1

a2

+

3

4b2

=1，解得即可；
（II）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立，化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0，化為1+4k²＞m²．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，根據(jù)k²=k₁•k₂，可得k2=

y1

x1

•

y2

x2

，化為km（x₁+x₂）+m²=0，4k²=1，代入△＞0可得0＜m²＜2．設(shè)原點到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

=

2|m|

5

．|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(2-m2)

，可得S_△OMN=

1

2

|MN|•d=

m2(2-m2)

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過D（2，0），E（1，

3

2

）兩點，
∴a=2，

1

a2

+

3

4b2

=1，解得a=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（II）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）＞0，化為1+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
∵k²=k₁•k₂，
∴k2=

y1

x1

•

y2

x2

，
∴k²x₁x₂=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，化為km（x₁+x₂）+m²=0，
∴

-8k2m2

1+4k2

+m²=0，m≠0，
∴4k²=1，解得k=±

1

2

．由△＞0，可得0＜m²＜2．
設(shè)原點到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

=

2|m|

5

．
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 (8-4m2)

=

5(2-m2)

，
∴S_△OMN=

1

2

|MN|•d=

m2(2-m2)

≤

( m2+2-m2 2 )2

=1．當m²=1時取等號．
∴△OMN面積的取值范圍是（0，1]．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．