Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上，設(shè)折痕所在直線的斜率為k．
（1）試寫出折痕所在直線的方程；
（2）寫出折痕的長d關(guān)于斜率k的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)檎郫B過程中，A點(diǎn)落在線段DC上，特別的如果折疊后AD重合，這時(shí)候折痕所在直線的斜率為0，若AD不重合，這時(shí)候折痕所在直線的斜率不為0，然后根據(jù)A點(diǎn)和對折后的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于直線折痕對稱，我們可以求出直線方程．
（2）同（1）的分析，我們要對痕所在直線的斜率分類討論，斜率為0時(shí)，易得結(jié)論，斜率不為0時(shí)，我們又要分折痕所在直線與矩形兩邊的交點(diǎn)在左右兩邊、上下兩邊、左下兩邊三種情況討論，本小題分類情況比較多，故解答要細(xì)心！

解答 解：（1）
當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程y=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)k≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G（a，1）（0＜a≤2），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有k_OG•k=-1，即$\frac{1}{a}$•k=-1，∴a=-k．
故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-k，1）（-2≤k＜0）．
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為M（-$\frac{k}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
折痕所在的直線方程y-$\frac{1}{2}$=k（x+$\frac{k}{2}$），即y=kx+$\frac{{k}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直線方程為：
k=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$；k≠0時(shí)y=kx+$\frac{{k}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$（-2≤k＜0）．
（2）當(dāng)k=0時(shí)，折痕的長為2．
當(dāng)k≠0時(shí)，
①如下圖，折痕所在的直線與邊AD、BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，$\frac{{k}^{2}+1}{2}$），P（2，2k+$\frac{{k}^{2}+1}{2}$）．

這時(shí)，-2+$\sqrt{3}$＜k＜0，y=PN²=4+4k²=4（1+k²）∈（4，16（2-$\sqrt{3}$））．
②如下圖，折痕所在的直線與邊AD、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，$\frac{{k}^{2}+1}{2}$），P（-$\frac{{k}^{2}+1}{2k}$，0）．

這時(shí)，-1≤k≤-2+$\sqrt{3}$，y=${（\frac{{k}^{2}+1}{2}）}^{2}$+${（-\frac{{k}^{2}+1}{2k}）}^{2}$．
y′=$\frac{{{（k}^{2}+1）}^{2}•（{2k}^{2}-1）}{{2k}^{3}}$，令y′=0，可得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

當(dāng)x=-1時(shí)，y=2；
當(dāng)x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，y=$\frac{27}{16}$；當(dāng)x=-2+$\sqrt{3}$時(shí)，y=16（2-$\sqrt{3}$），
∴y∈[$\frac{27}{16}$，16（2-$\sqrt{3}$）]
③如下圖，折痕所在的直線與邊CD、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（$\frac{1{-k}^{2}}{2k}$，1），P（-$\frac{{k}^{2}+1}{2k}$，0）．

這時(shí)，-2≤k＜-1，y=PN²=${（\frac{1}{k}）}^{2}$+1∈[$\frac{5}{4}$，2）．
綜上述，y_max=16（2-$\sqrt{3}$），$\sqrt{16（2-\sqrt{3}）}$，
所以折痕的長度的最大值為 $\sqrt{16（2-\sqrt{3}）}$=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 分類討論思想是中學(xué)的四大數(shù)學(xué)思想之一，利用分類討論思想一方面可將復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當(dāng)?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)．但在針對本題的解答中，要注意分析所有的可能情況，并要注意不重分，不漏分，屬于中檔題．