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【題目】設整數是區(qū)間中的不同整數.證明：集合有這樣的子集存在，它的所有元素之和能被整除.

【答案】見解析

【解析】

1.若，則個整數都屬于.于是，其中至少有二數相等，令.

因，必有.

于是能被整除.

2.若.不妨設，考慮個整數，在其中任取三個數.若均能被整除，則

，

從而，，與矛盾.

故中至少有兩個數之差不能被整除.

不妨設與的差不能被整除，考慮個整數：

.

i. 若這個數關于模的余數都不同，則其中必有一個數能被整除，令此數為.若為偶數，結論成立；若為奇數，加上即構成所需要的子集.

ii. 若這些數關于模有兩個以上的數同余，則任取其中二數之差必被整除，對照這些數的表達式知，因為和不同余，故二同余的數之差必為原集合中若干數之和.不妨仍記此和為，以下討論同i.

注：是必要的，例如時，結論對（0，6）的子集{1，3，4}不成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱函數的一個上界.已知函數， .

（1）若函數為奇函數，求實數的值；

（2）在第（1）的條件下，求函數在區(qū)間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】據氣象中心觀察和預測:發(fā)生于甲地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度與時間的函數圖象圖所示，過線段上一點作橫軸的垂線，梯形在直線左側部分的面積即為內沙塵暴所經過的路程.

（1） 當時，求的值；

（2）將隨變化的規(guī)律用數學關系式表示出來；

（3）若乙城位于甲地正南方向，且距甲地，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到乙城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到乙城?如果不會，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程在區(qū)間上有兩個不等的實根，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給出下列命題:

①非零向量滿足，則和的夾角為30°；

②將函數 的圖像按向量 平移，得到函數的圖像；

③在三角形ABC中，若 ，則三角形ABC為等腰三角形；其中正確命題的個數是（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】《周髀算經》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為，，且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，過點的直線的參數方程為（為參數），直線與曲線相交于，兩點.

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）若，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形為矩形， 平面， .

（1）求證： ；

（2）若直線平面，試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；

（3）若， ，求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知傾斜角為的直線過點和點，點在第一象限，.

（1）求的坐標；

（2）若直線與兩平行直線，相交于、兩點，且，求實數的值；

（3）記集合直線經過點且與坐標軸圍成的面積為，，針對的不同取值，討論集合中的元素個數.

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