【題目】已知橢圓C的焦點在x軸上,離心率等于 ,且過點(1, ). (Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于M點,若 1 , 2 ,求證:λ12為定值.

【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓C的焦點在x軸上,∴設(shè)橢圓C的方程為 =1(a>b>0), ∵離心率等于 ,且過點(1, ),
,解得 ,
∴橢圓C的標準方程為
證明:(Ⅱ)設(shè)點A,B,M的坐標分別為A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(0,y0),
又由題意知F點的坐標為F(2,0),直線l存在斜率,設(shè)直線l的斜率為k,
則直線l的方程是y=k(x﹣2),
聯(lián)立 ,消去y并整理得(1+5k2)x2﹣20k2x+20k2﹣5=0,
,
又∵ , = ,
將各點坐標代入得 , ,

=
= =﹣10
【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為 =1(a>b>0),由離心率等于 ,且過點(1, ),列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C的標準方程.(Ⅱ)設(shè)直線l的方程是y=k(x﹣2),與橢圓聯(lián)立,得(1+5k2)x2﹣20k2x+20k2﹣5=0,由此利用韋達定理、向量相等,結(jié)合已知條件能證明λ12為定值.

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