Question

20．設公比不為1等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃是a₁和a₂的等差中項，S₄+a₂=$\frac{1}{2}$．
（1）求a_n；
（2）已知等差數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，b₁=a₃，T₇=49，求$\frac{1}{b_1b_2}$+$\frac{1}{b_2b_3}$+…+$\frac{1}{b_nb_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）設出等比數(shù)列的公比，由題意列式求出首項和公比，代入等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由題意求出等差數(shù)列的首項和公差，求出通項公式，利用裂項相消法求得$\frac{1}{b_1b_2}$+$\frac{1}{b_2b_3}$+…+$\frac{1}{b_nb_{n+1}}$．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}+{a}_{1}q}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}+{a}_{1}q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=4•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）b₁=a₃=1，
設等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
則${T}_{7}=7_{1}+\frac{7×6}{2}d=7+21d=49$，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
則$\frac{1}{b_1b_2}$+$\frac{1}{b_2b_3}$+…+$\frac{1}{b_nb_{n+1}}$
=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．