Question

10．已知直線l與拋物線y²=4x相切于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，以MN為直徑的圓過x軸上一個(gè)定點(diǎn)P，則定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （1，0）
• C． （2，0）
• D． （4，0）

Answer 1

分析 求出切線方程，確定M，N的坐標(biāo)，驗(yàn)證$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{NF}$=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀）（y₀＞0），y=2$\sqrt{x}$，則y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴直線l的方程為y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$），
設(shè)x=-1，則y=-$\frac{2}{{y}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}}{2}$，
∴$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{NF}$=（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，-y₀）•（2，$\frac{2}{{y}_{0}}$-$\frac{{y}_{0}}{2}$）=2-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$-2+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=0，
∴MF⊥NF，
∴以MN為直徑的圓過x軸上一個(gè)定點(diǎn)P（1，0），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．