Question

9．已知函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x}{2}$）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用換元法進(jìn)行求解即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）設(shè)t=$\frac{x}{2}$，則x=2t，
即f（t）=2t+$\frac{1}{2t}$，
即f（x）=2（x+$\frac{1}{x}$），x≠0．
（2）函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上為減函數(shù)，則（1，+∞）為增函數(shù)，
對(duì)任意的1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞1，則x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
同理函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用定義法和換元法是解決本題的關(guān)鍵．