Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若（2a-c）•cosB=b•cosC，求f（$\frac{A}{2}$）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的坐標表示，由二倍角公式和輔助角公式，結合正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（2）運用正弦定理和兩角和的正弦公式及誘導公式，化簡可得cosB=$\frac{1}{2}$，求得B=$\frac{π}{3}$，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），再由正弦函數(shù)的圖象和性質，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
即有f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）（2a-c）•cosB=b•cosC，
由正弦定理可得，（2sinA-sinC）•cosB=sinB•cosC，
即為2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
即有2sinAcosB=sinA，
可得cosB=$\frac{1}{2}$（sinA＞0），
由0＜B＜π，可得B=$\frac{π}{3}$，
故A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
則f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$），且A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
即有sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
故f（$\frac{A}{2}$）的取值范圍是（1，2]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和三角函數(shù)的化簡，考查正弦函數(shù)的單調區(qū)間和值域，以及正弦定理的運用，考查運算化簡能力，屬于中檔題．