Question

16．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，∠C=$\frac{5π}{12}$，AC=2$\sqrt{6}$，AC的中點(diǎn)為D，若長度為3的線段PQ（P在Q的左側(cè)）在直線BC上滑動(dòng)，則AP+DQ的最小值為$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出BC=6，AB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．以BC所在直線為x軸，y軸經(jīng)過點(diǎn)A，建立坐標(biāo)系，則A（0，3+$\sqrt{3}$），設(shè)P（a，0），則Q（a+3，0），D（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），求出AP+DQ，利用幾何意義，結(jié)合對稱性，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，∠A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得$\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，
∴BC=6，AB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
以BC所在直線為x軸，y軸經(jīng)過點(diǎn)A，建立坐標(biāo)系，則A（0，3+$\sqrt{3}$），
設(shè)P（a，0），則Q（a+3，0），D（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）
∴AP+DQ=$\sqrt{（a-0）^{2}+[0-（3+\sqrt{3}）]^{2}}$+$\sqrt{（a-\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}+（0-\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}}$
表示x軸上的點(diǎn)（a，0）與A（0，3+$\sqrt{3}$），（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）的距離和，
利用對稱性，（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為E（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），
可得AP+DQ的最小值為AE=$\sqrt{（0-\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}+（3+\sqrt{3}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查解三角形的運(yùn)用，考查距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．