Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+…+a_n+2ⁿ=$\frac{1}{2}$（a_n+1+1），n∈N^*，且a₁=1，求證：
（1）數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁+a₂+…+a_n+2ⁿ=$\frac{1}{2}$（a_n+1+1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1+2^n-1=$\frac{1}{2}$（a_n+1），
∴a_n+2^n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，
化為a_n+1=3a_n+2ⁿ，
變形為：a_n+1+2ⁿ⁺¹=3$（{a}_{n}+{2}^{n}）$，
∴數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3．
（2）解：由（1）可得：a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．