Question

13．如圖，圓O：x²+y²=8內(nèi)有-點P（-1，2），AB為過P且傾斜角為135°的弦．
（1）求AB的長；
（2）若圓C與圓O內(nèi)切又與弦AB切于點P，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意直線AB的斜率為-1，直線AB的方程，根據(jù)圓心0（0，0）到直線AB的距離，由弦長公式求得AB的長．
（2）設(shè)圓C的圓心為（a，a+3），則$\sqrt{{a}^{2}+（a+3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{（a+1）^{2}+（a+3-2）^{2}}$，求出a，即可求圓C的方程．

解答 解：（1）依題意直線AB的斜率為-1，直線AB的方程為：y-2=-（x+1），
圓心0（0，0）到直線AB的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則|AB|=2$\sqrt{8-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{30}$，∴AB的長為$\sqrt{30}$．
（2）過P與直線AB垂直的直線方程為y-2=x+1，即y=x+3，
設(shè)圓C的圓心為（a，a+3），則$\sqrt{{a}^{2}+（a+3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{（a+1）^{2}+（a+3-2）^{2}}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$，∴圓心為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），半徑為$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴圓C的方程為（x+$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查用點斜式求直線方程，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．