Question

若雙曲線E：

x2

a2

-y2=1（a＞0）的離心率等于

2

，直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A，B兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|AB|=6

3

，點C是雙曲線E上一點，且

OC

=m(

OA

+

OB

)，求k，m．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出雙曲線E的方程，再利用直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A，B兩點，建立不等式，即可求k的取值范圍；
（2）先求出k的值，設(shè)C（x₃，y₃），由已知

OC

=m(

OA

+

OB

)，得(x3，y3)=m(x1+x2，y1+y2)=(4

5

m，8m)，即可求出m的值．

解答： 解：（1）∵雙曲線E：

x2

a2

-y2=1（a＞0）的離心率等于

2

，
∴b=1，

c

a

=

2

，
∴a=b=1，
∴雙曲線E：x²-y²=1．
直線y=kx-1與雙曲線E聯(lián)立可得（1-k²）x²+2kx-2=0，
∵直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A，B兩點，
∴

1-k2≠0 △＞0 2k k2-1 ＞0 2 k2-1 ＞0

，
∴1＜k＜

2

；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|AB|=6

3

，∴2

(1+k2)(2-k2) (k2-1)2

=6

3

，
得 28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

又1＜k＜

2

∴k=

5

2

------（9分）
那么x1+x2=

2k

k2-1

=4

5

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=8
設(shè)C（x₃，y₃），由已知

OC

=m(

OA

+

OB

)，得
∴(x3，y3)=m(x1+x2，y1+y2)=(4

5

m，8m)
∴80m²-64m²=1，得m=±

1

4

故k=

5

2

，m=±

1

4

．----------（14分）

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．