Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（-1）=0，當(dāng)x＞0時，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＜0，則不等式f（x）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x²+1）f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，f（x）＞0等價為g（x）＞0，求解g（x）＞0的解集即可得到結(jié)論．

解答： 解：由已知條件知：（x²+1）f′（x）+2xf（x）=（（x²+1）f（x））′＜0；
∴函數(shù)（x²+1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，令g（x）=（x²+1）f（x）；
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（-1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0；
∴①當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞g（1）=2f（1）=0，即（x²+1）f（x）＞0，∴f（x）＞0；
②當(dāng)x＞1時，g（x）＜g（1）=0，即（x²+1）f（x）＜0，∴f（x）＜0；
∴③當(dāng)-1＜x＜0時，0＜-x＜1，∴f（x）=-f（-x）＜0；
④當(dāng)x＜-1時，-x＞1，∴f（x）=-f（-x）＞0；
⑤當(dāng)x=0時，∵f（0）=-f（-0），∴f（0）=0；
∴不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）．

點評：考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對函數(shù)單調(diào)性定義的利用，奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的函數(shù)值特點．