Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面SCD的法向量，利用

n

•

AM

=0，即可證明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，利用法向量的夾角即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
則

AM

=（0，1，1），

SD

=（1，0，-2），

CD

=（-1，-2，0）．
設(shè)平面SCD的法向量是

n

=（x，y，z），則

x-2z=0 -x-2y=0

令z=1，則x=2，y=-1．于是

n

=（2，-1，1）．
∵

n

•

AM

=0-1×1+1×1=0，∴

AM

⊥

n

．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：易知平面SAB的法向量為

n1

=（1，0，0）．
設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則|cosα|=|

n • n1

| n || n1 |

|=

2

1× 6

=

6

3

∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，求出平面SCD與平面SAB的法向量是解題的關(guān)鍵．