Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，點D是BC的中點．
（1）求異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以{

AB

，

AC

，

AA1

}為單位正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值．
（2）分別求出平面ABA₁的法向量和平面ADC₁的法向量，利用向量法能求出平面ADC₁與ABA₁所成二面角的余弦值，再由三角函數(shù)知識能求出平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值．

解答： 解：（1）以{

AB

，

AC

，

AA1

}為單位正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則由題意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（0，0，4），D（1，1，0），C₁（0，2，4），
∴

A1B

=(2，0，-4)，

C1D

=（1，-1，-4），
∴cos＜

A1B

，

C1D

＞=

A1B • C1D

| A1B |•| C1D |

=

18

20 • 18

=

3 10

10

，
∴異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值為

3 10

10

．
（2）

AC

=(0，2，0) 是平面ABA₁的一個法向量，
設(shè)平面ADC₁的法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

AD

=(1，1，0)，

AC1

=(0，2，4)，
∴

m • AD =x+y=0 m • AC1 =2y+4z=0

，取z=1，得y=-2，x=2，
∴平面ADC₁的法向量為

m

=(2，-2，1)，
設(shè)平面ADC₁與ABA₁所成二面角為θ，
∴cosθ=|cos＜

AC

，

m

＞|=|

-4

2× 9

|=

2

3

，
∴sinθ=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
∴平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值為

5

3

．

點評：本題考查兩條異面直線所成角的余弦值的求法，考查平面與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．