Question

已知：∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

，∴cot2α=

1-tan2α

2tanα

∴2cot2α=cotα-tanα即cotα=tanα+2cot2α
（1）請利用已知的結(jié)論證明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α
（2）請你把（2）的結(jié)論推廣到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明；
（3）化簡tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

Answer 1

考點：歸納推理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）在已知結(jié)論中，取α=2α，得到cot2α=tan2α+2cot4α，把cot2α代入已知結(jié)論得答案；
（2）由已知結(jié)論和（1）中得到結(jié)論，歸納得到一般情形，利用依次取倍角的辦法得答案；
（3）直接由（2）的結(jié)論進(jìn)行化簡．

解答： （1）證明：∵cotα=tanα+2cot2α，取α=2α得，
cot2α=tan2α+2cot4α，∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（2）一般地，cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα（n∈N⁺）．
證明：∵cotα=tanα+2cot2α，∴cot2α=tan2α+2cot4α
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+2²cot2²α，
以此類推得cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα（n∈N⁺）；
（3）解：由（2）中結(jié)論得，
tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°
=tan5°+2tan10°+4tan20°+cot40°=cot5°．

點評：本題考查三角函數(shù)這種的恒等變換應(yīng)用，考查了二倍角的正切公式和余切公式，考查了學(xué)生的歸納推理能力，是中檔題．