Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m
（1）當(dāng)a=-3，m=0時(shí)，求方程f（x）-g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[-1，1]上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接把a(bǔ)=-3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；
（2）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，得到f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)得不等式組

f(1)≤0 f(-1)≤0

，求解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）把對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-3，m=0時(shí)，求方程f（x）-g（x）=0化為x²-4x-5=0，
解得：x=-1或x=5；
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3的對(duì)稱軸是x=2，
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∵函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，則必有：

f(1)≤0 f(-1)≤0

，即

a≤0 a+8≥0

，解得-8≤a≤0．
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-8，0]；
（3）若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
只需函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域?yàn)閇-1，3]，
下面求g（x）=mx+5-2m的值域．
①當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=5-2m為常數(shù)，不符合題意舍去；
②當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6；
③當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．
綜上，m的取值范圍為（-∞，-3]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．