Question

14．求證：$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$＜$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 令a=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$，b=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$，相乘，結(jié)合a＜b，即可證明結(jié)論．

解答 證明：令a=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$，b=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$，
∴ab=（$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$）•（$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$）=$\frac{1}{101}$＜$\frac{1}{100}$，
∵a＜b，
∴a²＜ab＜$\frac{1}{100}$，
∴a＜$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$＜$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查系數(shù)分析解決問題的能力，構(gòu)造a=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$，b=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$是關(guān)鍵．