Question

20．若關于x的方程$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有4個不同的實根，則k的取值范圍為（　�。�

• A． [0，4]
• B． [4，+∞）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 首先判斷出x=0是方程的一個實數(shù)解，所以$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三個不同的非零實數(shù)解；然后判斷出g（x）=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}x（x+4），x＞0\\-x（x+4），x＜0\end{array}\right.$，根據(jù)其函數(shù)圖象，要使$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三個不同的非零實數(shù)解，求出k的取值范圍即可．

解答 解：∵$\frac{|x|}{x+4}=k{x}^{2}$，
∴x=0是方程的一個實數(shù)解，
又∵關于x的方程$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有4個不同的實根，
∴$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三個不同的非零實數(shù)解．
（1）當x＞0時，
由$\frac{x}{x+4}=k{x}^{2}$，
可得$\frac{1}{k}$=x（x+4）；
（2）當x＜0時，
由-$\frac{x}{x+4}=k{x}^{2}$，
可得$\frac{1}{k}$=-x（x+4）；
∴g（x）=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}x（x+4），x＞0\\-x（x+4），x＜0\end{array}\right.$，如圖1，

要使$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三個不同的非零實數(shù)解，
則0＜$\frac{1}{k}$＜4，
∴k＞$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點評 此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，注意數(shù)形結合方法的應用，解答此題的關鍵是判斷出：g（x）=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}x（x+4），x＞0\\-x（x+4），x＜0\end{array}\right.$，考查數(shù)形結合的應用．