Question

5．已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]⊆A$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）
• B． $（{-1，\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）$
• C． $（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}，0}）$
• D． $（{0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$

Answer 1

分析 由題意可得，在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方．當(dāng)a=0或 a＞0時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)a＜0時(shí)，應(yīng)有f（-$\frac{1}{2}$+a）＜f（-$\frac{1}{2}$），化簡(jiǎn)可得 a²-a-1＜0，由此求得a的范圍．

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{x-a{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為M，若[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]⊆A，
則在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方．
當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x+a）的圖象是把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a個(gè)單位得到的，
結(jié)合圖象（右上方）可得不滿足函數(shù)y=f（x+a）的圖象在函數(shù)y=f（x）的圖象下方．
當(dāng)a＜0時(shí)，如圖所示，要使在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，
函數(shù)y=f（x+a）的圖象在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，
只要f（-$\frac{1}{2}$+a）＜f（-$\frac{1}{2}$）即可，
即-a（-$\frac{1}{2}$+a）²+（$\frac{1}{2}$-a）＜-a（-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)可得 a²-a-1＜0，解得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故此時(shí)a的范圍為（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0）．
綜上可得，a的范圍為（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，注意排除法在解決選擇題中的應(yīng)用，屬于中檔題．