Question

2．已知函數(shù)f（x）=2^|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8，其中m為參數(shù)．
（1）若m=2，寫出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間（無(wú)需證明）；
（2）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)m＜4時(shí)，若對(duì)任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的定義寫出m=2時(shí)g（x）的解析式，再求函數(shù)g（x）的單調(diào)增、單調(diào)減區(qū)間；
（2）由題意|x-m|=|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求出m的取值范圍；
（3）由題意，g（x）的值域應(yīng)是f（x）的值域的子集；由此求出m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8，m為參數(shù)；
m=2時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）-4，x≥2}\\{x（2-x）-4，x＜2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-4，x≥2}\\{{-x}^{2}+2x-4，x＜2}\end{array}\right.$；
函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；（開閉均可）…（3分）
（2）由f（x）=2^|x-m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，
得|x-m|=|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解；
即（x-m）²=m²，解得x=0或x=2m，
由題意知2m=0或2m＜-2，即m＜-1或m=0；
綜上，m的取值范圍是m＜-1或m=0；          …（7分）
（3）由題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-m}，x≥m}\\{{2}^{m-x}，x＜m}\end{array}\right.$，
則g（x）的值域應(yīng)是f（x）的值域的子集；      …（9分）
當(dāng)m＜4時(shí)，f（x）在（-∞，m）上單調(diào)遞減，[m，4]上單調(diào)遞增，
故f（x）≥f（m）=1；
g（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，故g（x）≥g（4）=8-2m；
所以8-2m≥1，即m≤$\frac{7}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值的意義與函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，是綜合題．