Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-2x+2a．
（1）求f（x）極值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²-2ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-2，令f′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．利用導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性極值．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²-2ax+1，即e^x-x²+2ax-1＞0，令g（x）=e^x-x²+2ax-1，g′（x）=e^x-2x+2a=f（x）．由（1）可得：x=ln2時(shí)，函數(shù)g′（x）取得極小值2-2ln2+2a．對(duì)a分類(lèi)討論利用導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2，令f′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．
可得：x∈（0，ln2）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．可得x=ln2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（ln2）=2-2ln2+2a．無(wú)極大值．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²-2ax+1，即e^x-x²+2ax-1＞0，
令g（x）=e^x-x²+2ax-1，
g′（x）=e^x-2x+2a=f（x）．
由（1）可得：x=ln2時(shí)，函數(shù)g′（x）取得極小值2-2ln2+2a．
當(dāng)a≥ln2-1時(shí)，由（1）可得：g′（x）＞g′（ln2）≥0，g（x）在R上單調(diào)遞增，∴x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0．
當(dāng)a＜ln2-1時(shí)，由（1）可得：若x∈（0，ln2），g′（x）＜g′（ln2）＜0，g（x）在R上單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．舍去．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[ln2-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類(lèi)討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．