Question

已知函數(shù)f_n（x）=a_nx³+b_nx²+c_nx，滿足

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數(shù)），n∈N^*，給出下列說法；
①函數(shù)f_n（x）可以為奇函數(shù)；
②若函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，則對(duì)于任意正整數(shù)n，函數(shù)f_n（x）都在R上單調(diào)遞增；
③若x₀是函數(shù)f_n（x）的極值點(diǎn)，則x₀也是函數(shù)f_n+1（x）的極值點(diǎn)；
④若b₁²＞3a₁c₁，則對(duì)于任意正整數(shù)n函數(shù)f_n（x）在R上一定有極值．
以上說法中所有正確的序號(hào)是（　　）

• A、①②③④
• B、②③
• C、②③④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①利用奇函數(shù)的定義，可以判斷；
②根據(jù)函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，可得f₁′（x）=3a₁x²+2b₁x+c₁＞0在R上恒成立，可得a₁＞0，△＜0，再由等比數(shù)列的定義，即可判斷；
③利用極值的定義，結(jié)合等比數(shù)列的條件，可得結(jié)論；
④求出f_n′（x）=0，若b₁²＞3a₁c₁，則由條件可得4b_n²-12a_nc_n＞0，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且在其左右附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變．

解答： 解：對(duì)于①，f_n（x）+f_n（-x）=a_nx³+b_nx²+c_nx-a_nx³+b_nx²-c_nx
=2b_nx²≠0，
∴函數(shù)f_n（x）不是奇函數(shù)，則①錯(cuò)；
②f₁（x）=a₁x³+b₁x²+c₁x，
則∵函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f₁′（x）=3a₁x²+2b₁x+c₁＞0在R上恒成立，
∴a₁＞0，△＜0，
由于

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數(shù)），n∈N^*，
則a_n＞0，b_n＞0，c_n＞0，且4b_n²-12a_nc_n＜0，
由于f_n（x）=a_nx³+b_nx²+c_nx，f′_n（x）=3a_nx²+2b_nx+c_n，
則由判別式△＜0，a_n＞0，可得，f′_n（x）＞0恒成立，
則函數(shù)f_n（x）都在R上單調(diào)遞增，則②對(duì)；
③若x₀是函數(shù)f_n（x）的極值點(diǎn)，則f_n′（x₀）=3a_nx₀²+2b_nx₀+c_nx₀=0，
∵

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數(shù)），n∈N^*，
∴f_n+1′（x₀）=q•（3a_nx₀²+2b_nx₀+c_nx₀）=0，
∴x₀也是函數(shù)f_n+1（x）的極值點(diǎn)，則③對(duì)；
④由于f′_n（x）=3a_nx²+2b_nx+c_n=0，
若b₁²＞3a₁c₁，則由條件可得4b_n²-12a_nc_n＞0，
則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且在其左右附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變，
∴函數(shù)f_n（x）在R上有極值．則④對(duì)．
綜上可知，②③④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)列知識(shí)，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．