Question

10．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本25萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入50萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時，銷售所得的收入為$（5t-\frac{1}{200}{t}^{2}）$萬元．
（1）該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f（x），求f（x）；
（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時，當(dāng)年所獲得的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本，建立函數(shù)關(guān)系即可；
（2）利用配方法，求得0＜x≤500時，$f（x）=-\frac{1}{200}{（x-450）}^{2}+\frac{1975}{2}$在x=450時取得最大值，x＞500時，$f（x）＜-\frac{1}{2}×500+1225=975$，即獲得的利潤最大．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤500時，$f（x）=5x-\frac{1}{200}{x}^{2}-50•\frac{x}{100}-25$．
當(dāng)x＞500時，$f（x）=5×500-\frac{1}{200}×{500}^{2}-50×\frac{x}{100}-25$，
故$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{200}{x}^{2}+\frac{9x}{2}-250＜x≤500\\-\frac{1}{2}x+1225x＞500\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0＜x≤500時，$f（x）=-\frac{1}{200}{（x-450）}^{2}+\frac{1975}{2}$   
故當(dāng)x=450時，${f（x）}_{max}=\frac{1975}{2}$；
當(dāng)x＞500時，$f（x）＜-\frac{1}{2}×500+1225=975$，
故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為450件時，當(dāng)年獲得的利潤最大．

點評 本題考查了函數(shù)模型的性質(zhì)與運用，考查了簡單的建模思想方法，訓(xùn)練里利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．