Question

18．過(guò)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點(diǎn)垂直于x軸的弦長(zhǎng)為a．則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 令x=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，代入橢圓方程，求得弦長(zhǎng)，即為b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，再由雙曲線的離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：令x=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，代入橢圓方程可得：
y=±b$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
由題意可得$\frac{2^{2}}{a}$=a，即有：
b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
可得雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為：
e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的弦長(zhǎng)的求法，考查離心率公式的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．