Question

2．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=1，DC=DC₁，AE=ED，F(xiàn)為BB₁上任意一點(diǎn)，且FB₁=3BF．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；
（Ⅲ）三棱錐B₁-ABC₁的體積．

Answer 1

分析 （I）過E作EG⊥AC于G，連結(jié)BG，由中位線定理得EG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{4}C{C}_{1}$，又BF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{4}$CC₁，于是四邊形EFBG是平行四邊形，故EF∥BG，于是EF∥平面ABC；
（II）棱柱的側(cè)面展開圖為矩形，邊長分別棱柱的底面周長和高，利用勾股定理求出對角線長；
（III）代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 解：（I過E作EG⊥AC于G，連結(jié)BG，則EG∥CD∥BF．
∴$\frac{EG}{CD}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，又∵$\frac{CD}{C{C}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EG}{C{C}_{1}}=\frac{1}{4}$．
∵FB₁=3BF，∴$\frac{BF}{B{B}_{1}}=\frac{1}{4}$，
又BB₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，∴EG$\stackrel{∥}{=}$BF，
∴四邊形EGBF是平行四邊形，
∴EF∥BG，又EF?平面ABC，BG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（II）∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，AA₁=1，
∴棱柱側(cè)面展開圖的矩形邊長為1和3．
∴三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長為$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$．
（III）V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．