Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝a－ (a∈R).

(1) 判斷函數(shù)f(x)的單調性并給出證明；

(2) 若存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，求a；

(3)對于(2)中的a，若f(x)≥，當x∈[2,3]時恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a＝1；（3）.

【解析】試題分析：（1）設x1，x2∈R，且x1<x2，由定義法能推出f(x1)－f(x2)<0，從而得到f(x)在定義域上單調遞增；

（2）由奇函數(shù)定義得f(0)=0，求參檢驗即可；

（3）由條件可得： m≤2x (1－＝(2x＋1)＋－3恒成立．m≤(2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2,3]即可得解.

試題解析：

(1)不論a為何實數(shù)，f(x)在定義域上單調遞增．

證明：設x1，x2∈R，且x1<x2，

則f(x1)－f(x2)＝－＝.

由x1<x2可知0<2x1<2x2，

所以2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．

所以由定義可知，不論a為何數(shù)，f(x)在定義域上單調遞增．

(2)由f(0)＝a－1＝0得a＝1，經驗證，當a＝1時，f(x)是奇函數(shù)．

(3)由條件可得： m≤2x＝(2x＋1)＋－3恒成立．m≤(2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2,3]．

設t＝2x＋1，則t∈[5,9]，函數(shù)g(t)＝t＋－3在[5,9]上單調遞增，

所以g(t)的最小值是g(5)＝，

所以m≤，即m的最大值是.