【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析: （Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值，切點(diǎn)在切線上也在曲線上列方程組，可解得切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程，（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件:，并求出極值點(diǎn)，再研究函數(shù)，此時(shí)先將用表示，轉(zhuǎn)化為證明一元函數(shù)在上最小值大于零，這可以利用導(dǎo)數(shù)易得.

試題解析:解：（Ⅰ）

設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為

點(diǎn)在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構(gòu)造函數(shù)，

在上單調(diào)遞增，

又，所以在時(shí)恒成立，即成立

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0.

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)若f(1)＝，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列三個(gè)集合：

①{x|y＝x2＋1}；

②{y|y＝x2＋1}；

③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它們是不是相同的集合？

(2)它們各自的含義是什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝a－ (a∈R).

(1) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并給出證明；

(2) 若存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，求a；

(3)對(duì)于(2)中的a，若f(x)≥，當(dāng)x∈[2,3]時(shí)恒成立，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， .對(duì)于結(jié)論

（1）當(dāng)時(shí)， ；（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為4,5,7；

（3）若，關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則；

（4）若函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則實(shí)數(shù)的范圍是.

說(shuō)法正確的序號(hào)是__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預(yù)測(cè)可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．記2009年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x) 萬(wàn)件之間的關(guān)系如下表所示：

x

1

2

3

4

f(x)

4.00

5.58

7.00

8.44

若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.

(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由，然后選取其中你認(rèn)為最適合的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；

(2)因遭受某國(guó)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響，2015年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2015年的年產(chǎn)量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|2a≤x＜3－a}

(1)若a＝－2，求B∩A，B∩UA；

(2)若BA，求實(shí)數(shù)a取值范圍.

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