Question

17．已知二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：
（1）f（x+1）=f（1-x），
（2）f（x）的最大值15，
（3）f（x）=0的兩根的平方和等于17，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)個(gè)條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為15；可設(shè)f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．又f（x）=0的兩根的平方和等于32．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a．

解答 解：由二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：
（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為15；
說(shuō)明其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下．
可設(shè)f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．
化為f（x）=ax²-2ax+a+15，
設(shè)f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{a+15}{a}$．（*）
∵f（x）=0的兩根的平方和等于17，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=17．
化為（x₁+x₂）²-2x₁x₂=17．
把（*）代入上式得2²-2×$\frac{a+15}{a}$=17，解得a=-2．
∴f（x）=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、最值及其零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．