Question

12．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρ²=4，已知傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線?經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）．
（Ⅰ）寫出直線?的參數(shù)方程；曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線?與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{π}{4}}\end{array}}\right.$，利用ρ²=x²+y²可得曲線C的方程．
（Ⅱ）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入x²+y²=4，化簡(jiǎn)整理得：${t^2}+2\sqrt{2}t-2=0$．可得|PA|×|PB|=|t₁|×|t₂|，由于直線l經(jīng)過(guò)圓心，可得|PA|+|PB|=|AB|=4，代入即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{π}{4}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，
曲線C的方程x²+y²=4．
（Ⅱ）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入x²+y²=4，化簡(jiǎn)整理得：${t^2}+2\sqrt{2}t-2=0$．
∴|PA|×|PB|=|t₁|×|t₂|=|t₁×t₂|=|-2|=2，
∵直線l經(jīng)過(guò)圓心，∴|PA|+|PB|=|AB|=4，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}|×|{PB}|}}=\frac{4}{2}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．