Question

已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0（x＞0），試判斷F（x）=f²（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)已知中函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0，可得當0＜x₁＜x₂時，0＞f（x₁）＞f（x₂），進而根據(jù)不等式的性質，可得f²（x₁）＜f²（x₂），結合函數(shù)單調性的定義，可得F（x）=f²（x）在（0，+∞）上的單調性．

解答： 證明：F（x）=f²（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，理由如下：
設0＜x₁＜x₂，
∵函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0，
∴0＞f（x₁）＞f（x₂），
則f²（x₁）＜f²（x₂），
即F（x₁）＜F（x₂），
故F（x）=f²（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調性的性質和證明，不等式的基本性質，是函數(shù)單調性和不等式的簡單綜合應用，屬于基礎題．