Question

11．某市教育主管部門(mén)為調(diào)查該市高三學(xué)生的視力情況，從全市隨機(jī)抽取了100名學(xué)生迸行檢測(cè)，并將視力以[3.3，3.7），[3.7，4.1），[4.1，4.5），[4.5，4.9），[4.9，5.3]分段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（I）根據(jù)頻率分布直方圖求圖中a的值，并求抽取的100名學(xué)生中，視力不小于4.5的學(xué)生人數(shù)，若從抽取的這100名學(xué)生中視力不小于4.5的學(xué)生中任選兩人，求至少有一人視力不小于4.9的概率；
（Ⅱ）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3名學(xué)生，記ξ為3名學(xué)生中視力不小于4.5的人數(shù)，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖，先求出a=0.7．從而得到視力不足4.5的學(xué)生有40人，其中視力不小于4.9的學(xué)生有12人，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出從抽取的這100名學(xué)生中視力不小于4.5的學(xué)生中任選兩人，至少有一人視力不小于4.9的概率．
（Ⅱ）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3名學(xué)生，記ξ為3名學(xué)生中視力不小于4.5的人數(shù)，則ξ～B（3，0.4），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，得：
（0.2+0.3+0.4+a+0.9）×0.4a=1，
解得a=0.7．
∴視力不足4.5的學(xué)生有：（0.7+0.3）×0.4×100=40人，
其中視力不小于4.9的學(xué)生有：0.3×0.4×100=12人，
從抽取的這100名學(xué)生中視力不小于4.5的學(xué)生中任選兩人，
至少有一人視力不小于4.9的概率：p=1-$\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{67}{130}$．
（Ⅱ）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3名學(xué)生，記ξ為3名學(xué)生中視力不小于4.5的人數(shù)，則ξ～B（3，0.4），
∴P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（0.6）^{3}$=0.216，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（0.4）（0.6）^{2}$=0.432，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（0.4）^{2}（0.6）$=0.288，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（0.4）^{3}$=0.064，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

Eξ=3×0.4=1.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．