Question

14．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）cosx，則下列說法正確的為（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
• B． f（x）的最大值為$\sqrt{2}$
• C． f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{8}$對稱
• D． 將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度后會得到一個奇函數(shù)的圖象

Answer 1

分析 由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，分別求出其周期，最大值，對稱軸即可判斷A，B，C，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D選項(xiàng)．

解答 解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，A錯誤；
f（x）的最大值為：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，B錯誤；
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ$+\frac{π}{2}$，解得f（x）的圖象的對稱軸為：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，故C錯誤；
將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，得到g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$圖象，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度后會得到h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x的圖象，而h（x）是奇函數(shù)．故正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了二倍角的余弦公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基本知識的考查．