Question

7．在平面直角坐標系xOy中，點M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q兩點．若△PQM是銳角三角形，則該橢圓離心率的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）．

Answer 1

分析 如圖所示．把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得M$（c，\frac{^{2}}{a}）$．過點M作MD⊥y軸，垂足為D．由于△PQM是銳角三角形，可得∠QMD=∠PMD$＜\frac{π}{4}$．因此cos∠QMD=$\frac{|MD|}{|QM|}$=$\frac{c}{\frac{^{2}}{a}}$＞$cos\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化簡整理即可得出．

解答 解：如圖所示．
把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y=$\frac{^{2}}{a}$．
∴M$（c，\frac{^{2}}{a}）$．
過點M作MD⊥y軸，垂足為D．
∵△PQM是銳角三角形，
∴∠QMD=∠PMD$＜\frac{π}{4}$，$c＜\frac{^{2}}{a}$．
∴cos∠QMD=$\frac{|MD|}{|QM|}$=$\frac{c}{\frac{^{2}}{a}}$＞$cos\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，ac＜a²-c²，
化為$\sqrt{2}ac＞{a}^{2}-{c}^{2}$，ac＜a²-c²
∴${e}^{2}+\sqrt{2}e-1$＞0，e²+e-1＜0．
解得e＞$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，$e＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴該橢圓離心率的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、銳角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．