Question

20．已知函數(shù)f（x）滿足f（x³-1）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求f′（x）．

Answer 1

分析 利用換元法，求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)即可．

解答 解：設(shè)x³-1=t，則x=$\root{3}{1+t}$，
∵x＞0，則t＞-1，
∴f（t）=$\frac{ln\root{3}{1+t}}{\root{3}{（1+t）^{2}}}$=$\frac{1}{3}$（1+t）${\;}^{-\frac{2}{3}}$ln（1+t），
∴f（x）=$\frac{1}{3}$（1+x）${\;}^{-\frac{2}{3}}$ln（1+x），
∴f′（x）=$\frac{1}{3}$[-$\frac{2}{3}$$（1+x）^{-\frac{5}{3}}$$•\frac{1}{1+x}$]=-$\frac{2}{9}$$（1+x）^{-\frac{8}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．