【題目】如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且是面積為的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使，求的面積.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為，F(xiàn)2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2為直角，從而，利用c2=a2﹣b2，可求得離心率，又=4，故可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韋達(dá)定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，進(jìn)而可求△PB2Q的面積．

試題解析：

（1）設(shè)橢圓的方程為， ，∵是面積為的直角三角形， ，∴為直角，從而，得，∵

，在中， ，∴，∵ ，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，由題意，直線的傾斜角不為，故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得，①

設(shè)，

∵，

∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，①可化為，

∴，

∴的面積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 在處有極值.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求f(x)在上的最大值和最小值；

（Ⅲ）在下面的坐標(biāo)系中作出在上的圖象，若方程在 上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖象求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面上的三點(diǎn) 、 、 .

（1）求以 、 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn) 、 、 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)分別為 、 、 ，求以 、 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法,對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

賠付金額(元)

0

1 000

2 000

3 000

4 000

車輛數(shù)(輛)

500

130

100

150

120

(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率.

(2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1 ，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1 ，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球．若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．

(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；

(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率．你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱，過點(diǎn)（1，t）僅能作曲線y=f（x）的一條切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A.（﹣3，﹣2）
B.[﹣3，﹣2]
C.（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了摸清整個(gè)江門大道的交通狀況，工作人員隨機(jī)選取20處路段，在給定的測試時(shí)間內(nèi)記錄到機(jī)動(dòng)車的通行數(shù)量情況如下（單位：輛）： 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182
181 173 174 165 158 154 159 189 168 169
（Ⅰ）完成如下頻數(shù)分布表，并作頻率分布直方圖；

通行數(shù)量區(qū)間

[145，155）

[155，165）

[165，175）

[175，185）

[185，195）

頻數(shù)

（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從通行數(shù)量區(qū)間為[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7處加以優(yōu)化，再從這7處中隨機(jī)選2處安裝智能交通信號(hào)燈，設(shè)所取出的7處中，通行數(shù)量區(qū)間為[165，175）路段安裝智能交通信號(hào)燈的數(shù)量為隨機(jī)變量X（單位：盞），試求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，兩坐標(biāo)系單位長度相同．已知曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上到直線l的距離為d的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f（d），求f（d）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的方程為．

（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求與圓相交所得的弦長；

（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程．

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