Question

6．若數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意正整數n都有4a_n-3S_n=8．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1$\frac{4（n+1）}{{{{log}_2}{a_n}{{log}_2}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式、等比數列的通項公式即可得出；
（II）利用對數的運算性質、“裂項求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由4a_n-3S_n=8，當n=1時，得4a₁-3a₁=8，解得a₁=8．
由4a_n-3S_n=8…①，
當n≥2時，4a_n-1-3S_n-1=8…②，
①-②得：a_n=4a_n-1，
∴數列{a_n}是（首項a₁=8，公比q=4的）等比數列，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=8×{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$，
（Ⅱ）由（1）log₂a_n=2n+1知：${b_n}={（-1）^{n-1}}\frac{4（n+1）}{{{{log}_2}{a_n}{{log}_2}{a_{n+1}}}}={（-1）^{n-1}}\frac{4（（n+1））}{（2n+1）（2n+3）}$，
∴${b_n}={（-1）^{n-1}}（{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}}）$，
當n為偶數時，${T_n}=（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）-（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$，
當n為奇數時，${T_n}=（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+…-（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）+（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}，n為奇數}\\{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}，n為偶數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式、對數的運算性質，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．