Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，}&{x≤0}\\{\sqrt{x}，}&{x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-x-k有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=與函數(shù)y=x+k的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，從而作圖求解即可．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-x-k有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴y=f（x）與y=x+k的圖象的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
分別畫出y=f（x）與y=x+k的圖象的圖象，如圖所示
當(dāng)b=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，是一個(gè)臨界值，
當(dāng)直線y=x+k與f（x）=$\sqrt{x}$相切時(shí)，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$=1；
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
故切點(diǎn)為（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
故b=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
結(jié)合圖象可得，k∈（0，$\frac{1}{4}$）
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用等，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題