Question

10．為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$，現(xiàn)在3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè)．
（1）求他們選擇的項目所屬類別互不相同概率．
（2）記ξ為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，首先設(shè)第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，且各個事件相互獨立，又由P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，由相互獨立事件的概率乘法公式得答案．
（2）根據(jù)ξ為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，得到變量的可能取值，分析出變量符合二項分布，得到變量的概率，即可寫出分布列．

解答 解：記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，由題意知A₁，A₂，A₃相互獨立，B₁，B₂，B₃相互獨立，C₁，C₂，C₃相互獨立，
A_i，B_j，C_k（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互獨立，
且P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$．
（1）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率：
P=3×2×P（A₁B₂C₃）=6P（A₁）P（B₂）P（C₃）=6×$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$．
（2）設(shè)3名工人中選擇項目屬于民生工程的人數(shù)為η，由已知：η～（3，$\frac{1}{3}$），
且ξ=3-η．
∴P（ξ=0）=P（η=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{1}{27}$；
P（ξ=1）=P（η=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{9}$；
P（ξ=2）=P（η=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{4}{9}$；
P（ξ=3）=P（η=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查二項分布，是一個概率的綜合題目，屬中檔題．