Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=${log_{（{a_{n+1}}）}}$a，其中a＞0且a≠1，n∈N^*
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試問數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是否為等差數(shù)列，如果是，請(qǐng)寫出公差，如果不是，說明理由；
（3）若a=2，記c_n=$\frac{1}{{（{a_n}+1）{b_n}}}$，數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為R_n，若對(duì)任意n∈N^*，不等式λnT_n+$\frac{{2{R_n}}}{{{a_n}+1}}$＜2（λn+$\frac{3}{{{a_n}+1}}$）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+1=2a_n+1變形，進(jìn)而可得到數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知b_n=${log_{（{a_{n+1}}）}}$a，兩邊同時(shí)取倒數(shù)整理即得結(jié)論；
（3）通過（1）、（2）可知c_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，結(jié)合R_n=$\frac{n（n+3）}{2}$代入整理，從而問題轉(zhuǎn)化為求f（n）=$\frac{6-3n-{n}^{2}}{n（{2}^{n}-n+3）}$的最小值，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2，即a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ；
（2）結(jié)論：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是公差為log_a2的等差數(shù)列．
理由如下：
∵b_n=${log_{（{a_{n+1}}）}}$a，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{lo{g}_{{a}_{n+1}}a}$=log_aa_n+1=（n+1）log_a2，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是等差數(shù)列，公差為log_a2；
（3）解：由（1）、（2）可知c_n=$\frac{1}{{（{a_n}+1）{b_n}}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∵T_n=2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
2T_n=2•1+3•$\frac{1}{2}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=2+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
由（2）可知R_n=$\frac{n（n+3）}{2}$，
又∵對(duì)任意n∈N^*，不等式λnT_n+$\frac{{2{R_n}}}{{{a_n}+1}}$＜2（λn+$\frac{3}{{{a_n}+1}}$）恒成立，
∴對(duì)任意n∈N^*，不等式λn（3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$）+$\frac{n（n+3）}{{2}^{n}}$＜2（λn+$\frac{3}{{2}^{n}}$）恒成立，
∴對(duì)任意n∈N^*，不等式λ＜$\frac{6-3n-{n}^{2}}{n（{2}^{n}-n+3）}$恒成立，
從而問題轉(zhuǎn)化為求f（n）=$\frac{6-3n-{n}^{2}}{n（{2}^{n}-n+3）}$的最小值，
∵f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=-$\frac{2}{5}$，f（3）=-$\frac{1}{2}$，f（4）=-$\frac{11}{26}$，
且當(dāng)n≥4時(shí)f（n）=$\frac{\frac{6}{n}-n-3}{{2}^{n}-n+3}$隨著n的增大而增大，
∴λ＜f（3）=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，涉及錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．