Question

20．如圖（1）是正方體木塊截去一個三棱柱后得到的幾何體，圖（2）是該幾何體的側(cè)視圖．點P是A′F和D′E的交點

（1）求直線AP與平面A′D′FE所成角的正弦值．
（2）經(jīng)過BC及點P鋸開該幾何體，該怎樣畫線？并求出鋸截面的面積．

Answer 1

分析 （1）由側(cè)視圖得正方體的棱長為4．可得四邊形EFD′A′是平行四邊形，點P是對角線的中點．如圖以D 為原點建立空間直角坐標系D-xyz，設(shè)平面A′D′FE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}E}=0}\end{array}\right.$，記直線AP與平面A′D′FE所成角為θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．
（2）經(jīng)過點P在平行四邊形A′D′FE內(nèi)作EF的平行線分別交A′E和D′F于G，H，連接BG和CH，則點G，H分別為A′E和D′F的中點，可得截面BCHG為矩形，即可得出．

解答 解：（1）由側(cè)視圖得正方體的棱長為4．
EF∥A′D′∥BC，且EF=A′D′=4，BF∥AA′，且BE=$\frac{1}{2}$AA′=2，
∴四邊形EFD′A′是平行四邊形，點P是對角線的中點，
如圖以D 為原點建立空間直角坐標系D-xyz，則有A（4，0，0），A′（4，0，4），D′（0，0，4），
E（4，4，2），P（2，2，3）．
得$\overrightarrow{AP}=（-2，2，3），\overrightarrow{{A^'}D'}=（-4，0，0），\overrightarrow{{A^'}E}=（0，4，-2）$
設(shè)平面A′D′FE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}^{′}E}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-4x=0}\\{4y-2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），為平面A′D′FE的一個法向量．
記直線AP與平面A′D′FE所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{17}×\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{85}}{85}$，
即直線AP與平面A′D′FE所成角的正弦值$\frac{{8\sqrt{85}}}{85}$．
（2）經(jīng)過點P在平行四邊形A′D′FE內(nèi)作EF的平行線分別交A′E和D′F于G，H，
連接BG和CH，則點G，H分別為A′E和D′F的中點，
∴GH∥EF∥BC，且GH=EF=BC，
點$G（4，2，3），\overrightarrow{GB}=（0，-2，3），\overrightarrow{BC}=（-4，0，0），\overrightarrow{GB•}\overrightarrow{BC}=0，GB⊥BC$，
∴截面GHBC為矩形，且GB=$\sqrt{13}$，
∴矩形面積S=GH•BC=4$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系與空間角、線面平行與垂直的判定性質(zhì)定理、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．