Question

3．已知直線y=x+1交橢圓${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知直線方程與橢圓方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，即可求解弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：由題意聯(lián)立方程可得：可得$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
消去y化簡(jiǎn)可得：3x²+2x-1=0，
解得x₁=-1，代入直線方程可得：y₁=0，
x₂=$\frac{1}{3}$，代入直線方程可得：y₂=$\frac{4}{3}$，
則弦AB的長(zhǎng)：$\sqrt{{（\frac{1}{3}+1）}^{2}+{（\frac{4}{3}-0）}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系：相交，處理此類問(wèn)題的一般方法是聯(lián)立方程，通過(guò)方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．