Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的一個焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P（4，2），直線l為雙曲線E的左準(zhǔn)線，點(diǎn)M為拋物線上任意一點(diǎn)，設(shè)d為M到直線l距離，求MP+d的最小值，并求取得最小值時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的一個焦點(diǎn)重合，求出p，即可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）MP+d最小時(shí)，MP⊥l，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的一個焦點(diǎn)為（3，0），
∴$\frac{p}{2}$=3，∴p=6，
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=12x；
（2）雙曲線E的左準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{4}{3}$，
MP+d最小時(shí)，MP⊥l，最小值為4+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$，
將y=2，代入y²=12x，可得x=$\frac{1}{3}$，∴M（$\frac{1}{3}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程，考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．